Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius (Tingkat SMP/Sederajat)

Perhatikan gambar berikut.
Tampak bahwa titik $A$ terletak $4$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
(Jawaban B)

Penulisan koordinat titik adalah $(x, y)$ di mana $x$ adalah absis dan $y$ adalah ordinat. Dari gambar, tampak bahwa koordinat $A$ adalah $(0, 2)$ dan koordinat $E$ adalah $(2, -4)$.
(Jawaban A)

Pada bidang Kartesius, kuadran IV terletak di daerah pada posisi kanan bawah dari pusat koordinat. Di kuadran IV, absis (nilai $x$) bertanda positif, sedangkan ordinat (nilai $y$) bertanda negatif. Dari gambar, titik $A$ tidak terletak di kuadran mana pun, titik $B$ di kuadran I, titik $C$ di kuadran II, titik $D$ di kuadran III, dan titik $E$ di kuadran IV.
(Jawaban D)

Titik $A$ terletak $2$ satuan di atas sumbu-$X$ dan tepat di sumbu-$Y$.
Titik $B$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $5$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Titik $C$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $D$ terletak $2$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $1$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $E$ terletak $4$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $2$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Jadi, titik yang dimaksud adalah $B(5, 3)$.
(Jawaban B)

Dari gambar, tampak bahwa titik $A(0, 2)$ terletak di sumbu koordinat, atau lebih tepatnya terletak di sumbu-$Y$.
(Jawaban A)

Pandang $B$ sebagai titik acuan.

1. Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $2$ satuan ke kiri, lalu $3$ satuan ke bawah untuk ke titik $A$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $A$ adalah $(-2, -3).$
2. Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $2$ satuan ke kanan, lalu $2$ satuan ke bawah untuk ke titik $C$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $C$ adalah $(2, -2).$
3. Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $4$ satuan ke kiri, lalu $8$ satuan ke bawah untuk ke titik $D$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $D$ adalah $(-4, -8).$
4. Dari titik $B(2, 3)$, bergerak $9$ satuan ke bawah untuk ke titik $E$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $E$ adalah $(0, -9).$

Jadi, pernyataan yang benar dari tabel di atas adalah pada nomor $2$ dan $3$.
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.

Dari titik $A(1, 2)$, bergerak $3$ satuan ke selatan menuju titik $(1, -1),$ kemudian belok ke arah barat sejauh $4$ satuan menjadi $(-3, -1).$ Terakhir belok ke arah utara sejauh $2$ satuan menjadi $(-3, 1).$
Jadi, koordinat pesawat tersebut saat ini adalah $\boxed{(-3, 1)}$
(Jawaban C)

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $P(4,4)$ dan $Q(-2, 4)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga pasangan titik yang dimaksud adalah $P$ dan $Q$.
(Jawaban C)

Gambarkan kelima titik tersebut pada bidang Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa garis $KL$ dan $MN$ akan berpotongan di titik $(-3, 3)$, sedangkan tiga pasangan garis lainnya tidak. 
(Jawaban D)

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $K(4, 3)$ dan $Q(-5, 3)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga kedudukan garis yang melalui dua titik ini adalah sejajar dengan sumbu-$X$.
(Jawaban D)

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk layang-layang, titik $D$ seharusnya terletak di sekitar kuadran IV. Ordinatnya seharusnya sama dengan ordinat $B$, yaitu $y = -1.$ Karena jarak absis $B$ dan $C$ adalah $-1-(-3) = 2,$ jarak absis $C$ dan $D$ juga harus $2$ sehingga $x = -1 + 2 = 1.$
Jadi, koordinat titik $D$ adalah $\boxed{(1, -1)}$
(Jawaban A)

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk trapesium siku-siku, titik $S$ seharusnya terletak di sekitar kuadran III dan sudutnya harus siku-siku. Agar hal itu terjadi, titik $S$ harus terletak di $(-3, -2)$ seperti yang diilustrasikan pada gambar di atas.
Jadi, koordinat titik $S$ adalah $\boxed{(-3, -2)}$
(Jawaban D)

Gambarkan keempat titik tersebut pada bidang Kartesius dan hubungkan dengan menggunakan garis lurus.
Kita peroleh sebuah segi empat berupa jajar genjang. Panjang alas diwakili oleh panjang $SR$, yaitu $a = 4$. Tingginya diwakili oleh panjang $OR$, yaitu $t = 6.$
Jadi, luas jajar genjang $PQRS$ adalah $\boxed{a \times t = 4 \times 6 = 24}$ satuan luas.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa luas daerah yang diraster itu merupakan jumlahan luas dua segitiga, yaitu $\triangle ABE$ dan $\triangle BCD$ seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\text{raster}} & = L_{\triangle ABE} + L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 \times 7 \times 6 + \dfrac12 \times 5 \times 4 \\ & = 21 + 10 = 31. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diraster pada gambar itu adalah $\boxed{31,0}$ satuan luas.
(Jawaban D)

Jawaban a)
Jawaban b)
Di gambar berikut, titik $P, Q, R, S$ berjarak $2$ satuan dari titik $A.$ Koordinatnya berturut-turut adalah $(7, 2),$ $(5, 0),$ $(3, 2),$ dan $(5, 4).$
 

Dari gambar, diketahui koordinat titik $A$ adalah $(-3, 3)$, $B(3, 3)$, dan $C(3, -1)$.
Jawaban a)
Agar terbentuk persegi panjang $ABCD$, titik $D$ harus terletak di sekitar kuadran III, tepatnya di titik $(-3, -1),$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Jawaban b)
Keliling bangun datar adalah jumlah panjang setiap sisi-sisinya. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \text{k}_{ABCD} & = AB + BC + CD + AD \\ & = 6 + 4 + 6 + 4 \\ & = 20. \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{20}$ satuan panjang.
Jawaban c)
Luas persegi panjang sama dengan panjang dikali lebarnya. Oleh karena itu,
$$\begin{aligned} \text{L}_{ABCD} & = AB \times BC \\ & = 6 \times 4 \\ & = 24. \end{aligned}$$Jadi, luas persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{24}$ satuan luas.
Jawaban d)
Untuk menentukan panjang diagonal $BD$, gunakan rumus Pythagoras di segitiga siku-siku $BCD.$
$$\begin{aligned} BD & = \sqrt{BC^2 + CD^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{16 + 36} \\ & = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$Jadi, panjang diagonal $BD$ adalah $\boxed{2\sqrt{13}}$ satuan panjang.