Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius (Tingkat SMP/Sederajat)

Perhatikan gambar berikut.
Tampak bahwa titik $A$ terletak $4$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
(Jawaban B)

Penulisan koordinat titik adalah $(x,y)$ di mana $x$ adalah absis dan $y$ adalah ordinat. Dari gambar, tampak bahwa koordinat $A$ adalah $(0,2)$ dan koordinat $E$ adalah $(2,-4)$.
(Jawaban A)

Pada bidang Kartesius, kuadran IV terletak di daerah pada posisi kanan bawah dari pusat koordinat. Di kuadran IV, absis (nilai $x$) bertanda positif, sedangkan ordinat (nilai $y$) bertanda negatif. Dari gambar, titik $A$ tidak terletak di kuadran mana pun, titik $B$ di kuadran I, titik $C$ di kuadran II, titik $D$ di kuadran III, dan titik $E$ di kuadran IV.
(Jawaban D)

Titik $A$ terletak $2$ satuan di atas sumbu-$X$ dan tepat di sumbu-$Y$.
Titik $B$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $5$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Titik $C$ terletak $3$ satuan di atas sumbu-$X$ dan $3$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $D$ terletak $2$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $1$ satuan di kiri sumbu-$Y$.
Titik $E$ terletak $4$ satuan di bawah sumbu-$X$ dan $2$ satuan di kanan sumbu-$Y$.
Jadi, titik yang dimaksud adalah $B(5,3)$.
(Jawaban B)

Dari gambar, tampak bahwa titik $A(0,2)$ terletak di sumbu koordinat, atau lebih tepatnya terletak di sumbu-$Y$.
(Jawaban A)

Pandang $B$ sebagai titik acuan.

1. Dari titik $B(2,3)$, bergerak $2$ satuan ke kiri, lalu $3$ satuan ke bawah untuk ke titik $A$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $A$ adalah $(-2,-3).$
2. Dari titik $B(2,3)$, bergerak $2$ satuan ke kanan, lalu $2$ satuan ke bawah untuk ke titik $C$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $C$ adalah $(2,-2).$
3. Dari titik $B(2,3)$, bergerak $4$ satuan ke kiri, lalu $8$ satuan ke bawah untuk ke titik $D$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $D$ adalah $(-4,-8).$
4. Dari titik $B(2,3)$, bergerak $9$ satuan ke bawah untuk ke titik $E$. Koordinat acuan terhadap $B$ untuk titik $E$ adalah $(0,-9).$

Jadi, pernyataan yang benar dari tabel di atas adalah pada nomor $2$ dan $3$.
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.

Dari titik $A(1,2)$, bergerak $3$ satuan ke selatan menuju titik $(1,-1),$ kemudian belok ke arah barat sejauh $4$ satuan menjadi $(-3,-1).$ Terakhir belok ke arah utara sejauh $2$ satuan menjadi $(-3,1).$
Jadi, koordinat pesawat tersebut saat ini adalah $\boxed{{\displaystyle (-3,1)}}$
(Jawaban C)

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $P(4,4)$ dan $Q(-2,4)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga pasangan titik yang dimaksud adalah $P$ dan $Q$.
(Jawaban C)

Gambarkan kelima titik tersebut pada bidang Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa garis $KL$ dan $MN$ akan berpotongan di titik $(-3,3)$, sedangkan tiga pasangan garis lainnya tidak. 
(Jawaban D)

Garis yang menghubungkan dua titik dengan ordinat yang sama pasti sejajar dengan sumbu-$X$.
Perhatikan gambar.
Tampak bahwa titik $K(4,3)$ dan $Q(-5,3)$ memiliki ordinat yang sama, sehingga kedudukan garis yang melalui dua titik ini adalah sejajar dengan sumbu-$X$.
(Jawaban D)

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk layang-layang, titik $D$ seharusnya terletak di sekitar kuadran IV. Ordinatnya seharusnya sama dengan ordinat $B$, yaitu $y=-1.$ Karena jarak absis $B$ dan $C$ adalah $-1-(-3)=2,$ jarak absis $C$ dan $D$ juga harus $2$ sehingga $x=-1+2=1.$
Jadi, koordinat titik $D$ adalah $\boxed{{\displaystyle (1,-1)}}$
(Jawaban A)

Gambarkan tiga titik tersebut pada bidang Kartesius.
Agar terbentuk trapesium siku-siku, titik $S$ seharusnya terletak di sekitar kuadran III dan sudutnya harus siku-siku. Agar hal itu terjadi, titik $S$ harus terletak di $(-3,-2)$ seperti yang diilustrasikan pada gambar di atas.
Jadi, koordinat titik $S$ adalah $\boxed{{\displaystyle (-3,-2)}}$
(Jawaban D)

Gambarkan keempat titik tersebut pada bidang Kartesius dan hubungkan dengan menggunakan garis lurus.
Kita peroleh sebuah segi empat berupa jajar genjang. Panjang alas diwakili oleh panjang $SR$, yaitu $a=4$. Tingginya diwakili oleh panjang $OR$, yaitu $t=6.$
Jadi, luas jajar genjang $PQRS$ adalah $\boxed{{\displaystyle a\times t=4\times 6=24}}$ satuan luas.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa luas daerah yang diraster itu merupakan jumlahan luas dua segitiga, yaitu $\mathrm{△}ABE$ dan $\mathrm{△}BCD$ seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{L}_{\text{raster}}& =L_{\mathrm{△}ABE}+L_{\mathrm{△}BCD}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 7\times 6+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 5\times 4\\ & =21+10=31.\end{array}$$Jadi, luas daerah yang diraster pada gambar itu adalah $\boxed{{\displaystyle 31,0}}$ satuan luas.
(Jawaban D)

Jawaban a)
Jawaban b)
Di gambar berikut, titik $P,Q,R,S$ berjarak $2$ satuan dari titik $A.$ Koordinatnya berturut-turut adalah $(7,2),$ $(5,0),$ $(3,2),$ dan $(5,4).$
 

Dari gambar, diketahui koordinat titik $A$ adalah $(-3,3)$, $B(3,3)$, dan $C(3,-1)$.
Jawaban a)
Agar terbentuk persegi panjang $ABCD$, titik $D$ harus terletak di sekitar kuadran III, tepatnya di titik $(-3,-1),$ seperti yang tampak pada gambar berikut.
Jawaban b)
Keliling bangun datar adalah jumlah panjang setiap sisi-sisinya. Oleh karena itu,
$$\begin{array}{rl}{\text{k}}_{ABCD}& =AB+BC+CD+AD\\ & =6+4+6+4\\ & =20.\end{array}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{{\displaystyle 20}}$ satuan panjang.
Jawaban c)
Luas persegi panjang sama dengan panjang dikali lebarnya. Oleh karena itu,
$$\begin{array}{rl}{\text{L}}_{ABCD}& =AB\times BC\\ & =6\times 4\\ & =24.\end{array}$$Jadi, luas persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{{\displaystyle 24}}$ satuan luas.
Jawaban d)
Untuk menentukan panjang diagonal $BD$, gunakan rumus Pythagoras di segitiga siku-siku $BCD.$
$$\begin{array}{rl}BD& =\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}\\ & =\sqrt{4^2+6^2}\\ & =\sqrt{16+36}\\ & =\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=2\sqrt{13}\end{array}$$Jadi, panjang diagonal $BD$ adalah $\boxed{{\displaystyle 2\sqrt{13}}}$ satuan panjang.